Svetozar Vukašinović je iz fudbalske porodice. U dresu zvorničkog tima, naslijedio je oca Đorđa i napravio veoma uspješnu karijeru.
Igrao je u svim mlađim selekcijama prije posljednjeg rata, a 1991. godine prekomandovan je u prvi tim. Kao mlad igrač nastupao je za Drinu u Međurepubličkoj ligi ondašnje Jugoslavije.
Promjenio je dosta klubova. U Drinu se vratio 2003. godine iz ekipe Budućnost iz Banatskog Dvora. Igrao je jednu sezonu u Zvorniku, pa prešao u Radnik iz Bijeljine. U ljeto 2006. godine se vraća u Drinu, igra jednu sezonu, pa odlazi u šabačku Mačvu.
Sa Drinom osvaja prvenstvo Republike Srpske i ulazi u Premijer ligu Bosne i Hercegovine. Uspješnu karijeru je završio 2011. godine i postao pomoćni trener radeći sa više glavnih trenera.
Za Drinu je odigrao 129 utakmica i postigao deset golova.